Вероятность серии проигрышей

Два разных вопроса о серии

Проиграть следующие k раундов подряд и встретить такую серию хотя бы раз за всю сессию — разные события. Во втором случае начало серии заранее не определено, а возможные окна перекрываются.

Модель предполагает независимые раунды и постоянную вероятность проигрыша. Эту вероятность нужно знать или явно задать. Здесь проигрыш — событие, которому ты присвоил вероятность q; это может быть, например, отрицательный чистый результат раунда. Событие должно оставаться одним и тем же во всём расчёте.

Проверяемый пример без JavaScript

Пусть q = 50%, k = 2, n = 3. Вероятность проиграть следующие два раунда равна 0,5² = 25%. Из восьми равновероятных последовательностей трёх исходов серия двух проигрышей встречается в трёх: ППВ, ВПП и ППП. Поэтому вероятность хотя бы одной серии — 3/8 = 37,5%, а её отсутствия — 62,5%.

Формула 1 − (1 − q^k)^n−k+1 дала бы здесь 43,75%. Она ошибочно считает перекрывающиеся окна независимыми, поэтому в калькуляторе не используется.

Как устроен точный расчёт

Вероятность следующих k проигрышей равна q^k. Для всей сессии используется динамическое программирование: состояние хранит длину текущей незавершённой серии от 0 до k − 1. В начале вероятность состояния 0 равна 1.

Не-проигрыш с вероятностью 1 − q сбрасывает длину в 0, проигрыш с вероятностью q увеличивает её на один. Достижение k переводит траекторию в накопленную вероятность найденной серии. Оставшаяся масса — вероятность отсутствия серии. Так учитываются перекрытия и серии длиннее k.

Это детерминированный DP, а не случайная симуляция. Вероятности наступления и отсутствия серии накапливаются отдельно, с компенсированным суммированием и нормализацией машинной погрешности. Для k = 1 используются устойчивые функции expm1 и log1p. Сложность — O(n × k), память — O(n + k), включая данные графика.

Ограничения и независимость раундов

Диапазоны n ≤ 10 000 и k ≤ 200 ограничивают объём вычислений в браузере. Расчёт выполняется по кнопке, а не при каждом нажатии клавиши. Они не означают рекомендуемую длину сессии.

Если вероятность меняется или раунды зависимы, эта модель не описывает процесс. Серия проигрышей сама по себе не повышает вероятность выигрыша следующего независимого раунда. Калькулятор не предлагает стратегию и не предсказывает следующую выплату.

Числа имеют обычную машинную точность: крайне малые значения могут округлиться или оказаться ниже представимого диапазона. RTP не равен вероятности выигрыша; получить q из одного RTP нельзя.

Вопросы о сериях

Почему при k больше n первая вероятность ненулевая, а вторая нулевая?

Первая относится к следующим k раундам вне ограничения сессии. Вторая требует, чтобы серия целиком поместилась в n раундов.

Что происходит при нуле раундов?

В пустой сессии нет ни одной серии положительной длины: вероятность её появления — 0%, отсутствия — 100%.

Почему более длинная сессия повышает риск серии?

В ней больше возможностей встретить серию. Это не меняет вероятность исхода следующего независимого раунда.